Корневые подпространства

Оператор $\mathcal{A}:V \to V$ называется **нильпотентным**, если $\exists{s}~~$такое, что $\mathcal{A}^{s}$ - нулевой оператор. Минимальное такое $s$ называется **ступенью нильпотентности**

Построим $U_{i}$ следующим образом: $$\begin{align} U_{1} &= \operatorname{Im} \mathcal{A} \\ U_{2} &= \operatorname{Im} \mathcal{A}^{2} \\ &\dots \\ U_{n} &= \operatorname{Im} \mathcal{A^{n}} \\ &\dots \end{align}$$ И $N_{i}$ аналогично: $$\begin{align} N_{1} &= \operatorname{Ker} \mathcal{A} \\ N_{2} &= \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2} \\ &\dots \\ N_{n} &= \operatorname{Ker} \mathcal{A^{n}} \\ &\dots \end{align}$$ Так как $\mathcal{A}(0) = 0$, то если какие-то векторы перейдут в ${} 0$, то в нуле они и останутся для последующих степеней: $$\mathcal{A}^{i}x = 0 \implies \mathcal{A}^{i+1}x = \mathcal{A}(\mathcal{A}^{i}x) = \mathcal{A}(0) = 0$$ По определению ядра и образа $U_{i}$ и ${} N_{i}$ будут $\mathcal{A}^{i}$-инвариантны. (если не очевидно, то объяснение ниже) А значит: $$\begin{align} U_{1} &\supseteq U_{2} \supseteq \dots \supseteq U_{n} \\ N_{1} &\subseteq N_{2} \subseteq \dots \subseteq N_{n} \end{align}$$ Так как пространство конечномерно, в какой-то момент получим $U_{k} = U_{k+1}$ и $N_{k} = N_{k + 1}$. Ясно, что равенство будет выполняться и для $U_{k+2}, U_{k+3}, \dots$ и $N_{k+2}, N_{k+3}, \dots$ Из теоремы о сумме ранга и дефекта для подпространств $U_{k}$ и ${} N_{k}$ это произойдет для одной и той же степени оператора.

Наименьший $k$, при котором $U_{k} = U_{k+1}$, называют **ступенью стабилизации** $U_{k} = \operatorname{Im}\mathcal{A}^{k}$ называют **1-компонентой** $\mathcal{A}$ $N_{k} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{k}$ называют **0-компонентой** $\mathcal{A}$

Для любого оператора $\mathcal{A}$ конечномерного пространства $V$ существуют $N_{\mathcal{A}}$ и $U_{\mathcal{A}}$ такие, что 1) $V = N_{\mathcal{A}} \oplus U_{\mathcal{A}}$ 2) $N_{\mathcal{A}}$ и $U_{\mathcal{A}}$ - $\mathcal{A}$-инвариантны 3) $\mathcal{A}|_{N_{\mathcal{A}}}$ - нильпотентный оператор 4) $\mathcal{A}|_{U_{\mathcal{A}}}$ - обратимый оператор

В качестве $U_{\mathcal{A}}$ и $N_{\mathcal{A}}$ возьмем 1 и 0 компоненты оператора $\mathcal{A}$ соответственно (т.е. $U_{\mathcal{A}} = U_{k} = \operatorname{Im} \mathcal{A}^{k}$ и $N_{\mathcal{A}} = N_{k} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{k}$) **Утверждение 1** Из построения знаем, что $\mathrm{dim}~N_{\mathcal{A}} + \mathrm{dim}~ U_{\mathcal{A}} = \mathrm{dim}~V$. Поэтому для прямой суммы достаточно показать, что $N_{\mathcal{A}} \cap U_{\mathcal{A}} = \{0\}$ Пусть $x \in N_{\mathcal{A}} \cap U_{\mathcal{A}}$, то есть $\mathcal{A}^{k}x = 0$ и $\exists{y \in V}\mathpunct{:}~~ x = \mathcal{A}^{k}y$. Тогда: $$\mathcal{A}^{k}x = \mathcal{A}^{k}(\mathcal{A}^{k}y) = \mathcal{A}^{2k}y = 0 \implies y \in N_{2k}$$ Но так как ${} N_{\mathcal{A}} = N_{k} = N_{k+1} = \dots = N_{2k} {}$, то $y \in N_{\mathcal{A}}$, а значит $x = \mathcal{A}^{k}y = 0$. Следовательно сумма прямая. **Утверждение 2** $N_{\mathcal{A}}$ и $U_{\mathcal{A}}$ - $\mathcal{A}$-инварианты из построения. **Утверждение 3** $$(\mathcal{A}|_{N_{\mathcal{A}}})^{k} = (\mathcal{A}|_{N_{\mathcal{A}}})^{k}|_{N_{\mathcal{A}}} = \mathcal{A}^{k}|_{N_{\mathcal{A}}} = 0$$ А значит оператор нильпотентен со ступенью нильпотентности $k$ **Утверждение 4** Так как: $$\operatorname{Ker} \mathcal{A^{k}}|_{U_{\mathcal{A}}} = \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{k} \cap \operatorname{Im} \mathcal{A}^{k} = N_{\mathcal{A}} \cap U_{\mathcal{A}} = \{0\}$$ А значит $\mathcal{A}^{k}|_{U_{\mathcal{A}}}$ - обратим. Но тогда и $\mathcal{A}|_{U_{\mathcal{A}}}$ обратим. $\square$

Пусть $\lambda$ - собственное значение оператора $\mathcal{A}$, тогда **корневым подпространством** называется 0-компонента оператора $\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E}$. Обозначение: $K_{\mathcal{A}}(\lambda)$ Иными словами: $K_{\mathcal{A}}(\lambda) = N_{\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E}} = \operatorname{Ker} (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})^{k}$

Пусть $U \subseteq V$. Тогда $U$ является $\mathcal{A}$-инвариантным $\iff$ $U$ является $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})$-инвариантным.

$\Large\implies$ Пусть $x \in U$. Тогда: $$(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})(x) = \mathcal{A}x - \lambda x$$ $\mathcal{A}x \in U$ из $\mathcal{A}$-инвариантности, $\lambda x \in U$ по определению, а значит $U$ - $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})$-инвариантно. $\Large\impliedby$ Аналогично. $\square$

Пусть $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V \to V$ и его характеристический многочлен раскладывается на линейные множители. Тогда: $$V = \mathop{\bigoplus}\limits_{i=1}^{k} K_{\mathcal{A}}(\lambda_{i}) = K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1}) \oplus K_{\mathcal{A}}(\lambda_{2}) \oplus \dots \oplus K_{\mathcal{A}}(\lambda_{k})$$ где $\lambda_i$ — собственные числа $\mathcal{A}$, $K_{\mathcal{A}}(\lambda_i)$ — корневые подпространства. Причём $\dim K_{\mathcal{A}}(\lambda_i) =$ кратности $\lambda_i$ в $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda)$.

Индукция по $n = \dim V$. **База индукции ($n=1$)**: $\mathcal{A}x = \lambda_1 x$. Тогда $V = K_{\mathcal{A}}(\lambda_1)$. Утверждение верно. **Шаг индукции**: Пусть утверждение верно для пространств размерности $< n$. Пусть $\lambda_1$ — одно из собственных значений $\mathcal{A}$. По разложению Фиттинга для оператора $\mathcal{A} - \lambda_1 \mathcal{E}$: $$V = N_{\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E}} \oplus U_{\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E}} = K_{\mathcal{A}}(\lambda_1) \oplus V'$$ По наблюдению, оба пространства $\mathcal{A}$-инвариантны. Поэтому матрица в базисе, согласованном с разложением, имеет вид: $$ A = \begin{pmatrix} B & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & C \end{pmatrix} \qquad B = [\mathcal{A}|_{K_{\mathcal{A}}(\lambda_1)}] \quad C = [\mathcal{A}|_{V'}]$$ Из вида матрицы получаем, что $\det (A - \lambda E) = \det(B - \lambda E) \cdot \det(C - \lambda E)$, а значит $\chi_{\mathcal{A}}(\lambda) = \chi_B(\lambda) \cdot \chi_C(\lambda)$ По Фиттингу, $(\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})|_{V'}$ обратим. Значит $\lambda_{1}$ не является собственным для $\mathcal{A}|_{V'}$, так как иначе: $$\exists{x \neq 0}\mathpunct{:}~~ (\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})|_{V'}(x) = \lambda_{1}x - \lambda_{1}x = 0 \implies \operatorname{Ker} (\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})|_{V'} \neq \{0\}$$ что противоречит обратимости. Следовательно, $\chi_{C}(\lambda_{1}) \neq 0$ По Фиттингу, $(\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})|_{K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1})}$ - нильпотентен. Значит $\lambda_{1}$ - единственное собственное для $\mathcal{A}|_{K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1})}$, так как иначе: $$\begin{align} \exists{\lambda_{2} \neq \lambda_{1}}~~ \exists{x \neq 0}\mathpunct{:}~~ &(\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})(x) = \mathcal{A}x - \lambda_{1}x = (\lambda_{2} - \lambda_{1})x \neq 0 \\ &(\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})^{2}(x) = (\lambda_{2} - \lambda_{1})^{2}x \neq 0 \\ &\dots \\ &(\mathcal{A} - \lambda_{1}\mathcal{E})^{k}(x) = (\lambda_{2} - \lambda_{1})^{k}x \neq 0 \end{align}$$ что противоречит нильпотентности. Следовательно, $\chi_{B}(\lambda) = (\lambda_{1} - \lambda)^{m}$, где $m = \operatorname{dim} K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1})$. А значит $\operatorname{dim} K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1})$ равно кратности $\lambda_{1}$. Получаем, что $\chi_{A}(\lambda) = (\lambda_{1} - \lambda)^{m} \chi_{C}(\lambda)$, а значит $\chi_{C}(\lambda)$ раскладывается на линейные множители. Поскольку $\chi_{C}(\lambda)$ раскладывается, $\operatorname{dim} V' < n$ и в $V'$ нет векторов, отвечающих $\lambda_{1}$, то для $V'$ справедливо предположение индукции: $$ V' = \bigoplus_{i=2}^{k} K_{\mathcal{A}|_{V'}}(\lambda_i) $$ Следовательно, $$ V = K_{\mathcal{A}}(\lambda_1) \oplus \bigoplus_{i=2}^{k} K_{\mathcal{A}}(\lambda_i) = \bigoplus_{i=1}^{k} K_{\mathcal{A}}(\lambda_i) $$ $\square$

Если данный факт не очевиден, докажем его. Напомним, что $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V \to V$ Пусть $y \in \operatorname{Im} \mathcal{A} \implies \exists{x}\mathpunct{:}~~ \mathcal{A}x = y$. Так как $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V \to V$, то $y \in V$, а значит $\mathcal{A}y \in \operatorname{Im} \mathcal{A}$ по определению образа, а значит $\mathcal{A}$-инвариантно. Пусть $y \in \operatorname{Ker} \mathcal{A} \implies \mathcal{A}y = 0$. Так как $\mathcal{A}(\mathcal{A}y) = \mathcal{A}(0) = 0$, то $\mathcal{A}y \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$, а значит $\mathcal{A}$-инвариантно.